Question

【題目】如圖1，2，3分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正三角形（等邊三角形）、正四邊形（正方形）、正五邊形，BE和CD相交于點O．

（1）在圖1中，求證：△ABE≌△ADC．

（2）由（1）證得△ABE≌△ADC，由此可推得在圖1中∠BOC=120°，請你探索在圖2中，∠BOC的度數，并說明理由或寫出證明過程．

（3）填空：在上述（1）（2）的基礎上可得在圖3中∠BOC= （填寫度數）．

（4）由此推廣到一般情形（如圖4），分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正n邊形，BE和CD仍相交于點O，猜想得∠BOC的度數為 （用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠BOC=90°；（3）72°；（4）．

【解析】

試題分析：（1）根據等邊三角形證明AB=AD，AC=AE，再利用等式性質得∠DAC=∠BAE，根據SAS得出△ABE≌△ADC；

（2）根據正方形性質證明△ABE≌△ADC，得∠BEA=∠DCA，再由正方形ACEG的內角∠EAC=90°和三角形外角和定理得∠BOC=90°；

（3）根據正五邊形的性質證明：△ADC≌△ABM，再計算五邊形每一個內角的度數為108°，由三角形外角定理求出∠BOC=72°；

（4）根據正n邊形的性質證明：△ADC≌△ABM，再計算n邊形每一個內角的度數為180°﹣，由三角形外角定理求出∠BOC=．

試題解析：（1）如圖1，∵△ABD和△ACE是等邊三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，∴△ABE≌△ADC；

（2）如圖2，∠BOC=90°，理由是：

∵四邊形ABFD和四邊形ACGE都是正方形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90°，∴∠BAE=∠DAC，∴△ADC≌△ABE，∴∠BEA=∠DCA，∵∠EAC=90°，∴∠AMC+∠DCA=90°，∵∠BOC=∠OME+∠BEA=∠AMC+∠DCA，∴∠BOC=90°；

（3）如圖3，同理得：△ADC≌△ABM，∴∠BME=∠DCA，∵∠BOC=∠BME+∠OEM=∠DCA+∠AEC，∵正五邊形ACIGM，∴∠EAC=180°﹣=108°，∴∠DCA+∠AEC=72°，∴∠BOC=72°；

故答案為：72°；

（4）如圖4，∠BOC的度數為，理由是：

同理得：△ADC≌△ABM，∴∠BME=∠DCA，∵∠BOC=∠BME+∠OEM=∠DCA+∠AEC，∵正n邊形AC…M，∴∠EAC=180°﹣，∴∠DCA+∠AEC=180°﹣（180°﹣），∴∠BOC=．