Question

如圖，△ABC內接于⊙O，且AB=AC，點D在⊙O上，AD⊥AB于點A，AD與BC交于點E，F在DA的延長線上，且AF=AE．
（1）試判斷BF與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若BF=5，cos∠C=

4

5

，求⊙O的直徑．

Answer 1

證明：（1）BF與⊙O相切，連接OB、OA，連接BD（1分），
∵AD⊥AB，∴∠BAD=90°，
∴BD是直徑，∴BD過圓心
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，
∵AD⊥AB，
∴∠ABD+∠D=90°，
∵AF=AE，
∴∠EBA=∠FBA，
∴∠ABD+∠FBA=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O切線（4分）；

（2）∵∠C=∠D，cos∠C=

4

5

，
∴cos∠D=

4

5

，
∵BF=5，
∴

BD

DF

=

4

5

，
∴

BF

DF

=

3

5

，
∴BD=

4

3

×5=

20

3

，
∴直徑為

20

3

（8分）．