Question

【題目】(1)觀察推理:如圖①，在中，,直線過點，點在直線的同側，，垂足分別為.求證:.

(2)類比探究:如圖②，在中，，將斜邊繞點逆時針旋轉90°至，連接，求的面積.

(3)拓展提升:如圖③，在中，，點在上，且，動點從點沿射線以每秒1個單位長度的速度運動，連接，將線段繞點逆時針旋轉120°得到線段.要使點恰好落在射線上，求點運動的時間.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)8;(3)4s.

【解析】

（1）先利用等角的余角相等得到∠EAC=∠BCD，則可根據“AAS”證明△AEC≌△CDB；

（2）作B′D⊥AC于D，如圖2，先證明△B′AD≌△ABD得到B′D=AC=4，然后根據三角形面積公式計算；

（3）如圖3，利用旋轉的性質得∠FOP=120°，OP=OF，再證明△BOF≌△CPO得到PC=OB=1，則BP=BC+PC=4，然后計算點P運動的時間t．

（1）∵BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠BDC=90°，

∴在Rt△AEC中，∠EAC+∠ACE=90°.

又∵∠ACE+∠DCB=180°-∠ACB=180°-90°=90°，

∴∠EAC=∠DCB，

在△AEC與△CDB中， ，

∴△AEC≌△CDB(AAS).

（2）如圖，作B′D⊥AC于點D，則∠ADB′=∠BCA=90°.

由旋轉可知，AB′=AB，∠B′AB=90°.

∴∠B′AC+∠BAC=90°，

在Rt△ACB中，∠B+∠BAC=90°.

∴∠B′AC=∠B.

在△B′AD與△ABC中，，

∴△B′AD≌△ABC(AAS)，

∴B′D=AC=4，

∴S△AB′C=×AC×B′D=×4×4=8.

（3）對圖形進行角標注，如圖所示.

∵BC=3cm，OC=2cm，

∴OB=BC-OC=1cm.

由旋轉可知∠FOP=120°，OP=OF，

∴∠1+∠2=180°-∠FOP=180°-120°=60°，

在△BCE中，∠E=∠ECB=60°，

∴∠EBC=180°-∠E-∠ECB=180°-60°-60°=60°，

又∵∠OBF+∠CBE=180°，∠PCO+∠ECB=180°，

∴∠OBF=∠PCO.

在△PCO中，∠2+∠3=∠ECB=60°，

又∵∠1+∠2=60°，

∴∠1=∠3.

在△BOF與△CPO中， ，

∴△BOF≌△CPO(AAS)，

∴PC=OB=1cm，

∴EP=EC+PC=3+1=4cm，

∴點P的運動時間t=4÷1=4（s）.