Question

【題目】如圖，是⊙的直徑，是⊙上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，與AB，AC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E，F，連結(jié)AD．

（1）求證：AF⊥EF； （2）若，AB=5，求線段BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

試題（1）連接OD根據(jù)切線得出OD⊥EF，根據(jù)OA=OD得出∠1=∠3，根據(jù)弧的中點(diǎn)得出∠1=∠2，則∠2=∠3，說(shuō)明OD∥AF，得到切線；（2）連接BD，根據(jù)tan∠CAD的值得出tan∠1的值，根據(jù)Rt△ADB得出BD和AD的長(zhǎng)度，根據(jù)平行得出△EDO與△EFA相似，設(shè)BE=x，根據(jù)相似比得出x的值.

試題解析：（1）證明：連結(jié)OD．

∵直線EF與⊙O相切于點(diǎn)D， ∴OD⊥EF．

∵OA = OD，∴∠1=∠3．∵點(diǎn)為的中點(diǎn)， ∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴OD∥AF，∴AF⊥EF．

（2）解：連結(jié)BD．∵， ∴在Rt△ADB中，AB=5，∴BD=，AD=，

在Rt△AFD中，可得DF=2，AF=4，∵OD∥AF，∴△EDO∽△EFA，∴，又∵OD=2.5，設(shè)BE=x，

∴，∴，即BE=．