Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，如果某點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的和為10，則稱此點(diǎn)為“合適點(diǎn)”例如，點(diǎn)（1，9），（﹣2019，2029）…都是“合適點(diǎn)”．

（1）求函數(shù)y＝2x+1的圖象上的“合適點(diǎn)”的坐標(biāo)；

（2）求二次函數(shù)y＝x2﹣5x﹣2的圖象上的兩個(gè)“合適點(diǎn)”A，B之間線段的長(zhǎng)；

（3）若二次函數(shù)y＝ax2+4x+c的圖象上有且只有一個(gè)合適點(diǎn)”，其坐標(biāo)為（4，6），求二次函數(shù)y＝ax2+4x+c的表達(dá)式；

（4）我們將拋物線y＝2（x﹣n）2﹣3在x軸下方的圖象記為G1，在x軸及x軸上方圖象記為G2，現(xiàn)將G1沿x軸向上翻折得到G3，圖象G2和圖象G3兩部分組成的記為G，當(dāng)圖象G上恰有兩個(gè)“合適點(diǎn)”時(shí)，直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（3，7）；（2）8；（3）y＝﹣x2+4x；（4）n＜或10﹣＜n＜10+

【解析】

（1）根據(jù)“合適點(diǎn)”的定義，聯(lián)立x+y＝10和y＝2x+1即可求解；

（2）根據(jù)“合適點(diǎn)”的定義，聯(lián)立x+y＝10和y＝x2﹣5x﹣2即可求解；

（3）將點(diǎn)（4，6）代入二次函數(shù)表達(dá)式得：16a+16+c＝6…①，聯(lián)立y＝10﹣x和y＝ax2+4x+c并整理得：2x2+5x+（c﹣10）＝0，△＝25﹣4a（c﹣10）＝0…②，聯(lián)立①②即可求解；

（4）當(dāng)直線m于圖象G3只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線m與圖象G有3個(gè)“合適點(diǎn)”；當(dāng)直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B時(shí)，直線m與圖象G有3個(gè)“合適點(diǎn)”，即可求解．

解：（1）聯(lián)立

解得：

故“合適點(diǎn)”的坐標(biāo)為（3，7）；

（2）聯(lián)立

解得：或

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣2，12）、（6，4），

則AB＝＝8；

（3）將點(diǎn)（4，6）代入二次函數(shù)表達(dá)式得：

16a+16+c＝6…①，

聯(lián)立y＝10﹣x和y＝ax2+4x+c并整理得：

ax2+5x+（c﹣10）＝0，

由題意可知：△＝25﹣4a（c﹣10）＝0…②，

聯(lián)立①②并解得：a＝﹣，c＝0，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+4x；

（4）圖象G，如下圖所示：

∵G1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（n，-3），G1的函數(shù)表達(dá)式為：y＝2（x﹣n）2-3，

∴G3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（n，3），則G3的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣2（x﹣n）2+3，

x+y＝10，則y＝10﹣x，

設(shè)直線m為：y＝10﹣x，

①當(dāng)直線m與圖象G3只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，由圖可知：直線m與G2有兩個(gè)交點(diǎn)

直線m與圖象G有3個(gè)交點(diǎn)，即有3個(gè)“合適點(diǎn)”，

聯(lián)立直線m與G3的表達(dá)式得：y＝﹣2（x﹣n）2+3＝10﹣x，整理得：

2x2﹣（4n+1）x+（2n2+7）＝0，

△＝b2﹣4ac＝8n﹣55＝0，解得：n＝，

故當(dāng)n＜時(shí)，圖象G恰好有2個(gè)“合適點(diǎn)”；

②當(dāng)直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B時(shí)，

直線m與圖象G有3個(gè)交點(diǎn)，即有3個(gè)“合適點(diǎn)”，則在這兩個(gè)點(diǎn)之間有2個(gè)“合適點(diǎn)”，

直線m與x軸的交點(diǎn)為（10，0），

將（10，0）代入y＝2（x﹣n）2﹣3并解得：n＝10，

故10﹣＜n＜10+；

綜上，n的取值范圍為：n＜或10﹣＜n＜10+．