Question

（2013•長沙）如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，∠DBC=∠BAC．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，∠BAC=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）求出∠ADB的度數，求出∠ABD+∠DBC=90°，根據切線判定推出即可；
（2）分別求出等邊三角形DOB面積和扇形DOB面積，即可求出答案．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∵∠DBC=∠BAC，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
∴AB⊥BC，
∵AB為直徑，
∴BC是⊙O切線；

（2）解：連接OD，過O作OM⊥BD于M，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOD=2∠A=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴OB=BD=OD=2，
∴BM=DM=1，
由勾股定理得：OM=

3

，
∴陰影部分的面積S=S_扇形DOB-S_△DOB=

60π•22

360

-

1

2

×2×

3

=

2

3

π-

3

．

點評：本題考查了切線的判定，圓周角定理，扇形面積，等邊三角形的性質和判定的應用，關鍵是求出∠ABD+⊕DBC=90°和分別求出扇形DOB和三角形DOB的面積．