Question

【題目】如圖，已知拋物線L：y=ax2+bx+c經過點A(-3，0)、B(0，4)和F(4，0)．

　　　

(1)求拋物線L的解析式；

(2)在圖①拋物線L上，求作點C(保留作圖痕跡，不寫作法)，使∠BAC=∠FAC，并求出點C的坐標；

(3)在圖①中，若點D為拋物線上一動點，過點D作DH⊥x軸于點H，交直線AC于點G，過點C作CK⊥x軸于點K，連接DC，當以點G，C，D為頂點的三角形與△ACK相似時，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點C的坐標（，）；（3）點D的坐標（，）或（，）．

【解析】

（1）將點A(-3，0)、B(0，4)和F(4，0)的坐標代入解析式中即可求出結論；

（2）根據題意，作出∠BAF的角平分線AC即可，然后過點B作BP∥AC交x軸于點P，過點C作CQ⊥x軸于點Q，設點C的坐標為（t，），證出，列出比例式即可求出t，從而求出點C的坐標；

（3）根據相似三角形的對應情況分類討論，分別畫出對應的圖形，然后根據拋物線的對稱性、相似三角形的判定及性質和聯立方程求交點坐標，即可分別求出結論．

解：（1）將點A(-3，0)、B(0，4)和F(4，0)的坐標代入拋物線L的解析式中，得

解得：

∴拋物線L的解析式為；

（2）以A為圓心，任意長度為半徑作弧，分別交AB、AF于M、N；然后分別以M、N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線AE，交y軸于點P，交拋物線于點C，易知此時AC平分∠BAF，即∠BAC=∠FAC，如下圖所示，點C即為所求．

過點B作BP∥AC交x軸于點P，過點C作CQ⊥x軸于點Q

∵點A(-3，0)、B(0，4)，∠BOA=90°

∴AO=3，BO=4，

根據勾股定理可得AB=

∵BP∥AC，AC平分∠BAF

∴∠BPO=∠CAQ，∠BAO=2∠CAQ

∴∠BAO=2∠BPO

∵∠BAO=∠BPO＋∠ABP

∴∠BPO=∠ABP

∴AP=AB=5

∴PO=AP＋AO=8

設點C的坐標為（t，），由圖可知：t＞0

∴OQ=t，CQ=

∴AQ=t＋3

∵∠CQA=∠BOP=90°，∠CAQ =∠BPO

∴

∴

即

解得：（不符合t的取值范圍，舍去）

∴點C的縱坐標為=

∴點C的坐標為（，）；

（3）①當時，如下圖所示

∴∠DCG=∠KAC，∠CDG=∠AKC=90°

∴CD∥x軸

此時點C、D關于拋物線L的對稱軸對稱，對稱軸為直線x==

∵點C的坐標為（，）

∴此時點D的坐標為（，）；

②當時，如下圖所示

∴∠DCG=∠AKC=90°

∴DC⊥AC

設CD與x軸交于點M

由（2）知：點C的坐標為（，），AK=，CK=

∵∠AKC=∠CKM=∠ACM=90°

∴∠CAK＋∠ACK=90°，∠MCK＋∠ACK=90°

∴∠CAK=∠MCK

∴

∴

∴

解得：MK=

∴OM=

∴點M的坐標為（，0）

設直線CD的解析式為y=kx＋d

將點C和點M的坐標代入，得

解得：

∴直線CD的解析式為

聯立

解得：或

其中點C的坐標為（，）

∴點D的坐標為（，）；

③∵∠DGC一定不等于90°

∴不存在點D，使或；

當以點G，C，D為頂點的三角形與相似時，點D的坐標為（，）或（，）．