Question

已知直線y＝kx＋6（k<0）分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，線段OA上有一動(dòng)點(diǎn)P由原點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

　　（1）當(dāng)k＝－1時(shí)，線段OA上另有一動(dòng)點(diǎn)Q由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)P以相同速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（如圖1）．

　　①直接寫出t＝1秒時(shí)C、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

　　②若以Q、C、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，求t的值．

　　（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)以C為頂點(diǎn)的拋物線y＝(x＋m)²＋n與直線AB的另一交點(diǎn)為D（如圖2），①求CD的長(zhǎng)； ②設(shè)△COD的OC邊上的高為h，當(dāng)t為何值時(shí)，h的值最大？

Answer 1

解：（1）①C（2，4），Q（4，0）

　　②由題意得：P（2t，0），C（2t，－2t＋6），Q（6－2t，0）

　　分兩種情況討論：

　　情形一：當(dāng)△AQC∽△AOB時(shí)，∠AQC＝∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA．

　　∵CP⊥OA，∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，OQ＝OP，即6－2t＝2t，∴t＝1.5

　　情形二：當(dāng)△AQC∽△AOB時(shí)，∠ACQ＝∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝3，

∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ也是等腰直角三角形，∵CP⊥OA，∴AQ＝2CP，即2t＝2（－2t＋6），

∴t＝2，∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒．

　　（2）①由題意得：C（2t，），

　　∴以C為頂點(diǎn)的拋物線解析式是，

　　由

　　解得

　　過點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，則∠DEC＝∠AOB＝90°．

　　∵DE∥OA，∴∠EDC＝∠OAB，

　　∴△DEC∽△AOB，∴，∵AO＝8，AB＝10，

　　DE＝，∴CD＝．

　　②∵，CD邊上的高＝，

　　∴S_△COD為定值．要使OC邊上的高h(yuǎn)的值最大，只要OC最短，當(dāng)OC⊥AB時(shí)OC最短，此時(shí)OC的長(zhǎng)為，∠BCO＝90°，

　　∵∠AOB＝90°∴∠COP＝90°﹣∠BOC＝∠OBA，

　　又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽R(shí)t△OAB．

　　

　　∴當(dāng)t為秒時(shí)，h的值最大．