Question

 已知直線y＝kx-3與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點C，拋物線經過點A和點C,動點P在x軸上以每秒1個長度單位的速度由拋物線與x軸的另一個交點B向點A運動，點Q由點C沿線段CA向點A運動且速度是點P運動速度的2倍。

1.（1）求此拋物線的解析式和直線的解析式；                 

2.（2）如果點P和點Q同時出發，運動時間為t（秒），試問當t為何值時，△PQA是直角三角形；

3.（3）在直線CA上方的拋物線上是否存在一點D，使得△ACD的面積最大，若存在，求出點D坐標；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

 

1.解：（1）∵ 直線y＝kx-3過點A（4，0），

∴ 0 ＝ 4k -3，解得k＝。

∴ 直線的解析式為 y＝x-3。  …………………………………1分

由直線y＝x-3與y軸交于點C，可知C（0,-3） 。

∵ 拋物線經過點A（4,0）和點C,

∴ ，解得 m＝。

∴ 拋物線解析式為 ……………2分

2.（2）對于拋物線，

令y＝0，則，解得x₁＝1，x₂＝4。

∴ B（1，0）。 

∴ AB＝3，AO＝4，OC＝3，AC＝5，AP＝3-t，AQ＝5-2t。

① 若∠Q₁P₁A＝90°,則P₁Q₁∥OC（如圖1），

∴ △AP₁Q₁∽△AOC。

∴ , ∴。解得t＝ ；  ………………4分

② 若∠P₂Q₂A＝90°, ∵∠P₂AQ₂＝∠OAC，

∴ △AP₂Q₂∽△AOC。

∴ , ∴ 。解得t＝； …………………6分

③ 若∠Q A P＝90°,此種情況不存在。    ………………………5分 

綜上所述，當t的值為或時，△PQA是直角三角形

3.（3）答：存在。

過點D作DF⊥x軸，垂足為E，交AC于點F（如圖2）。

∴ S_△ADF＝DF·AE，S_△CDF＝DF·OE。

∴ S_△ACD＝ S_△ADF + S_△CDF

＝DF·AE +DF·OE

＝DF×（AE+OE）

＝×（DE+DF）×4

＝×（）×4

＝。  ……………………………7分

∴ S_△ACD＝（0<x<4）。

又0<2<4且二次項系數，∴ 當x＝2時，S_△ACD的面積最大而當x＝2時，y＝。

∴ 滿足條件的D點坐標為D （2, ）。 …………………8分

解析:略