Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，點D為BC上一點，且AD=DC，過A，B，D三點作⊙O，AE是⊙O的直徑，連結DE．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若sinC= ，AC=6，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=AC，AD=DC，

∴∠C=∠B，∠1=∠C，

∴∠1=∠B，

又∵∠E=∠B，

∴∠1=∠E，

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，

∴∠E+∠EAD=90°，

∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，

∴AE⊥AC，

∴AC是⊙O的切線

（2）解：過點D作DF⊥AC于點F，如圖，

∵DA=DC，

∴CF= AC=3，

在Rt△CDF中，∵sinC= = ，

設DF=4x，DC=5x，

∴CF= =3x，

∴3x=3，解得x=1，

∴DC=5，

∴AD=5，

∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，

∴△ADE∽△DFC，

∴ = ，即 = ，解得AE= ，

即⊙O的直徑為 ．

【解析】（1）根據等腰三角形的性質，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，則∠1=∠B，根據圓周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根據切線的判定定理即可得到AC是⊙O的切線；（2）過點D作DF⊥AC于點F，如圖，根據等腰三角形的性質得CF= AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定義得sinC= = ，則設DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后證明△ADE∽△DFC，再利用相似比可計算AE即可．