Question

如圖，點P為△ABC的內心，延長AP交△ABC的外接圓⊙O于D，過D作DE∥BC，交AC的延長線于E點．①則直線DE與⊙O的位置關系是

 

；②若AB=4，AD=6，CE=3，則DE=

 

．

Answer 1

分析：①連OD，根據內心的性質得到∠BAD=∠DAE，再根據圓周角的推論得到弧DB=弧DC，利用垂徑定理得到OD⊥BC，而DE∥BC，
即可得到OD⊥DE；
②連BD，DC，由BC∥DE，得到∠E=∠ACB，∠BCD=∠CDE，根據同弧所對的圓周角相等得到∠ACB=∠ADB，∠BCD=∠BAD，因此
∠E=∠ADB，∠CDE=∠BAD，得到△CDE∽△BAD，則

ED

AD

=

CE

BD

=

CD

AB

，而AB=4，AD=6，CE=3，BD=DC，先計算出CD，再計算出DE．

解答：解：①連OD，如圖，
∵點P為△ABC的內心，
∴∠BAD=∠DAE，
∵同弧或等弧所對的圓周角相等，
∴弧DB=弧DC，
∴OD⊥BC，
而DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

②連BD，DC，如圖，
則BD=DC，
∵BC∥DE，
∴∠E=∠ACB，∠BCD=∠CDE，
而∠ACB=∠ADB，∠BCD=∠BAD，
∴∠E=∠ADB，∠CDE=∠BAD，
∴△CDE∽△BAD，
∴

ED

AD

=

CE

BD

=

CD

AB

，
而AB=4，AD=6，CE=3，BD=DC，
∴

DE

6

=

3

DC

=

DC

4

，
∴DC=2

3

，則DE=3

3

．
故答案為：相切；3

3

．

點評：本題考查了圓的切線的判定方法：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了平行線的性質和圓周角定理的推論以及三角形相似的判定與性質．