Question

【題目】已知：為的直徑，,為上一動點（不與、重合）.

（1）如圖1，若平分，連接交于點.①求證：；②若，求的長；

（2）如圖2，若繞點順時針旋轉得，連接.求證：為的切線.

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②2；（2）見解析

【解析】

（1）①先根據圓周角定理得出，再得出，再根據角平分線的定義得出，最后根據三角形外角定理即可求證；②取中點，連接，可得是中位線，根據平行線的性質得，然后根據等腰三角形的性質得出，最后再根據中位線的性質得出；

（2）上截取，連接，由題意先得出，再得出，然后由旋轉性質得、，再根據同角的補角相等得出，然后證的，最后得出即可證明.

解：（1）①證明：為的直徑，

.

，

，.

.

平分，

.

，

，

.

；

②解法一：如圖，取中點，連接，

為的中點，

，.

.

，，

.

.

；

解法二：如圖，作，垂足為，

平分，，

.

.

.

.

.

.

.

在中，.

；

解法三：如圖，作，垂足為，

設

平分，，

.

∴

∴，即

∴

解得：

∴

（2）證明（法一）：如圖，在上截取，連接.

，

.

.

.

.

由旋轉性質得，，.

，

.

.（沒寫不扣分）

.

.

.

為的切線．

證法二：如圖，延長到，使.

由旋轉性質得，，.

.

，

.

.（沒寫不扣分）

，.

，

.

.

.

.

.

.

.

為的切線．

證法三：作交延長線于點.（余下略）

由旋轉性質得，，

∴

，

∴.

∵

∴

∴、

∴

∴

∴

∴

∵為的直徑，

∴

∴

∴

∴.

∴為的切線．