Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=﹣x2+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（m，m+1），且與y軸相交于點(diǎn)C．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式并寫出其圖象頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）求∠CAD的正弦值；

（3）設(shè)點(diǎn)P在線段DC的延長(zhǎng)線上，且∠PAO=∠CAD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，頂點(diǎn)D（1，4）；（2）；（3）（，），（﹣6，﹣3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)y=﹣x2+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（m，m+1），求得m和n的值即可；

（2）根據(jù)A，C，D三點(diǎn)的坐標(biāo)，求得CD=，AC=，AD=，得到CD2+AC2=AD2，根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，據(jù)此求得∠CAD的正弦值；

（3）先求得直線CD為y=x+3，再設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a+3），然后分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于E；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，分別判定△ACD∽△AEP，△ACD∽△AFP，列出比例式求得a的值即可．

試題解析：（1）∵二次函數(shù)y=﹣x2+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（m，m+1），∴，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為：y=﹣x2+2x+3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）如圖所示，在y=﹣x2+2x+3中，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴C（0，3）．

∵A（3，0），D（1，4），∴CD=，AC=，AD=，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，∴sin∠ACD==；

（3）∵直線CD經(jīng)過(guò)C（0，3），D（1，4），∴設(shè)可設(shè)直線CD為y=kx+b，則

，解得：，∴直線CD為y=x+3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a+3），①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，則

PE=a+3，AE=3﹣a，∵∠AEP=∠ACD=90°，∠PAO=∠CAD，∴△ACD∽△AEP，∴，即，解得a=，∴a+3=，∴此時(shí)P的坐標(biāo)為（，）；

②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，則

PF=﹣（a+3），AF=3﹣a，∵∠AFP=∠ACD=90°，∠PAO=∠CAD，∴△ACD∽△AFP，∴，即，解得a=﹣6，∴a+3=﹣3，∴此時(shí)P的坐標(biāo)為（﹣6，﹣3）；

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），（﹣6，﹣3）．