Question

【題目】如圖，將矩形ABCD的一個角翻折，使得點D恰好落在BC邊上的點G處，折痕為EF，若EB為∠AEG的平分線，EF和BC的延長線交于點H．下列結論中：①∠BEF＝90°；②DE＝CH；③BE＝EF；④△BEG和△HEG的面積相等；⑤若，則．以上命題，正確的有（　　）

A.2個B.3個C.4個D.5個

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根據平角的定義，折疊的性質和角平分線的性質即可作出判斷；

②根據折疊的性質和等腰三角形的性質可知DE≠CH；

③無法證明BE＝EF；

④根據角平分線的性質，等腰三角形的性質和三角形中線的性質可得△BEG和△HEG的面積相等；

⑤過E點作EK⊥BC，垂足為K，在RT△EKG中利用勾股定理可做出判斷.

解：①由折疊的性質可知∠DEF＝∠GEF，∵EB為∠AEG的平分線，∴∠AEB＝∠GEB，∵∠AED＝180°，∴∠BEF＝90°，故正確；

②根據矩形的性質可得∠D=∠FCH,∠DFE=∠CFH（對頂角相等）

所以△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故錯誤；

③無法證明BE＝EF，故錯誤；

④∵ABCD是矩形，

∴∠AEB=∠EBC（內錯角相等）

又∵EB為∠AEG的平分線，

∴∠AEB=∠BEG,

∴∠BEG=∠EBC，

∴△GEB是等腰三角形，

∵ABCD是矩形，

∴∠DEF=∠CHF（內錯角相等），

又∵折疊的性質得到∠DEF=∠FEG,

∴∠FEG=∠CHF，

∴△GEH是等腰三角形，

則G是BH邊的中線，

∴△BEG和△HEG的面積相等，故正確；

⑤過E點作EK⊥BC，垂足為K.設BK=x，CD=y，由可得AD=2y

∵EB平分∠AEG，

∴∠AEB=∠BEG，

又∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBG，

∴∠BEG=∠EBG，

∴BG=EG

在RT△EKG中，，，

，由勾股定理有，即，解得，當時，，K、G重合，不符合題意，舍去。故取，此時，則，故正確的有3個．

故選:B．