Question

【題目】如圖1，已知P為正方形ABCD的對角線AC上一點（不與A、C重合），PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F．
（1）求證：BP=DP；
（2）如圖2，若四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉，在旋轉過程中是否總有BP=DP？若是，請給予證明；若不是，請用反例加以說明；
（3）試選取正方形ABCD的兩個頂點，分別與四邊形PECF的兩個頂點連接，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉的過程中長度始終相等，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：證法一：在△ABP與△ADP中，

∵AB=AD∠BAC=∠DAC，AP=AP，

∴△ABP≌△ADP，

∴BP=DP．

證法二：利用正方形的軸對稱性，可得BP=DP．

（2）證明：解：不是總成立．

當四邊形PECF的點P旋轉到BC邊上時，DP＞DC＞BP，此時BP=DP不成立，

是當P點在AC的延長線上時，BP=DP，

說明：未用舉反例的方法說理的不得分．

（3）解：連接BE、DF，則BE與DF始終相等，

，

在圖1中，由正方形ABCD可證：

AC平分∠BCD，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴PE=PF，∠BCD=90°，

∴四邊形PECF為正方形．

∴CE=CF，

∵∠DCF=∠BCE，

BC=CD，

∴△BEC≌△DFC，

∴BE=DF．

【解析】（1）由正方形的性質可證△ABP≌△ADP，即BP=DP；（2）當四邊形PECF的點P旋轉到BC邊上時，DP＞DC＞BP，此時BP=DP不成立；（3）由旋轉的性質和正方形的性質可證△BEC≌△DFC，即BE=DF．
【考點精析】利用全等三角形的性質和旋轉的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．