Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為r（r＞0）．給出如下定義：若平面上一點P到圓心O的距離d，滿足r，則稱點P為⊙O的“隨心點”．

（1）當⊙O的半徑r＝2時，A(4，0)，B(0，3)，C(，﹣)，D(﹣，﹣2)中，⊙O的“隨心點”是　 　；

（2）若點E(6，8)是⊙O的“隨心點”，求⊙O的半徑r的取值范圍；

（3）當⊙O的半徑r＝4時，直線y＝﹣x+b（b≠0）與x軸交于點M，與y軸交于點N，若線段MN上存在⊙O的“隨心點”，直接寫出b的取值范圍　 　．

Answer 1

【答案】（1）B，D；（2）≤r≤20；（3）2≤b≤6或﹣6≤b≤﹣2

【解析】

（1）分別判斷A、B、C、D四個點到圓心O的距離是否符合規定即可；

（2）先算出OE長度，再根據“隨心點“的定義列出不等式組解出r的取值范圍；

（3）r已知，因此先算出r和r的值，由解析式y＝﹣x+b可得M、N坐標，由于直線y＝x與y＝﹣x+b垂直，故聯立兩直線方程可解出交點P的坐標，然后用兩點間的距離公式可得OP長度（注意b的符號未知，表示長度應加絕對值符號），線段MN上存在“隨心點“，則意味著OM≥2且OP≤6，列出不等式組即可解出b的取值范圍．

解：（1）∵r＝2，

∴r＝1，r＝3，

∵A（4，0），

∴OA＝4＞3，

∴A不是“隨心點”；

∵B（0，3），

∴OB＝3，

∴B是“隨心點”；

∵C（，﹣），

∴OC＝＝＜1，

∴C不是“隨心點”；

∵D（﹣，﹣2），

∴OD＝＝，

∴D是“隨心點”；

綜上所述，⊙O的“隨心點”是B、D，

故答案為：B、D；

（2）∵E（6，8），

∴OE＝＝10，

因為E是⊙O的“隨心點”，

∴r≤OE≤r，即r≤10≤r，

解得≤r≤20；

（3）∵r＝4，

∴r＝2，r＝6，

直線y＝﹣x+b（b≠0）與x軸交于點M，與y軸交于點N，

∴M（b，0），N（0，b），

過點O且與直線y＝﹣x+b垂直的直線解析式為y＝x，

聯立方程組：，解得：，

∴直線y＝﹣x+b與直線y＝x交點坐標為P（，），

∴OP＝，

∵線段MN上存在⊙O的隨心點，

∴，

解得2≤b≤6或﹣6≤b≤﹣2．