Question

【題目】如圖，拋物線交軸于兩點，交軸于點，點的坐標為，直線經過點.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）點是直線上方拋物線上的一動點，求面積的最大值并求出此時點的坐標；

（3）過點的直線交直線于點，連接當直線與直線的一個夾角等于的2倍時，請直接寫出點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，有最大值，最大值為，點坐標為；（3）點的坐標或.

【解析】

（1）利用點B的坐標，用待定系數法即可求出拋物線的函數表達式；

（2）如圖1，過點P作軸，交BC于點H，設，H ，求出的面積即可求解；

（3）如圖2，作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于，交AC于E，利用等腰三角形的性質和三角形外角性質得到，再確定N（3，2），AC的解析式為y＝5x5，E點坐標為，利用兩直線垂直的問題可設直線的解析式為，把E代入求出b，得到直線的解析式為 ，則解方程組 得點的坐標；作點關于N點的對稱點，利用對稱性得到，設，根據中點坐標公式得到，然后求出x即可得到的坐標，從而得到滿足條件的點M的坐標．

（1）把代入得

；

（2）過點P作軸，交BC于點H，

設，則點H的坐標為 ，

∴ ，

∴，

∴當時，有最大值，最大值為，此時點坐標為.

（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于，交AC于E，

∵，
∴，
∴，
∵△ANB為等腰直角三角形，
∴，
∴N（3，2），
由 可得AC的解析式為y＝5x5，E點坐標為，
設直線的解析式為，把E代入得 ，解得，
∴直線的解析式為，
解方程組得 ，則；
如圖2，在直線BC上作點關于N點的對稱點，則，

設，
∵，
∴，
∴，
綜上所述，點M的坐標為或.