Question

【題目】如圖，△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，連接DC、BE．

（1）如圖1，求證：DC＝BE；

（2）如圖2，DC，BE交于點F，用含α的式子表示∠AFE；

（3）如圖3，過A作AG⊥DC于點G，式于的值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）由∠DAB＝∠CAE＝α，可得∠DAC＝∠BAE，根據“SAS”可證△ADC≌△ABE，可得DC＝BE；

（2）由△ADC≌△ABE可得∠AEF＝∠ACD，即可證點A，點E，點C，點F四點共圓，可得∠AFE＝∠ACE，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可求∠AFE的度數；

（3）由題意可得∠AFD＝＝∠AFE，過點作AH⊥BE，可證△AGF≌△AHF，可得AG＝AH，GF＝HF，即可證Rt△AGC≌Rt△AHE，可得GC＝HE，由EF﹣FC＝HE+FH﹣FC＝GC+FH﹣FC＝GF+FC+FH﹣FC＝2GF，可得的值．

（1）∵∠DAB＝∠CAE＝α，

∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC

即∠DAC＝∠BAE，

又∵AD＝AB，AC＝AE

∴△ADC≌△ABE（SAS）

∴DC＝BE

（2）∵△ADC≌△ABE

∴∠AEF＝∠ACD

∴點A，點E，點C，點F四點共圓

∴∠AFE＝∠ACE

∵AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α

∴∠ACE＝

∴∠AFE＝

（3）∵△ADC≌△ABE

∴∠ADC＝∠ABE

∴點A，點D，點B，點F四點共圓

∴∠AFD＝∠ABD

∵AB＝AD，∠DAB＝∠CAE＝α

∴∠ABD＝

∴∠AFD＝

∴∠AFE＝∠AFD

如圖，過點作AH⊥BE，

∵∠AFE＝∠AFD，∠AGF＝∠AHF，AF＝AF

∴△AGF≌△AHF（AAS）

∴AG＝AH，GF＝HF，

∵AG＝AH，AE＝AC

∴Rt△AGC≌Rt△AHE（HL）

∴GC＝HE

∵EF﹣FC＝HE+FH﹣FC＝GC+FH﹣FC＝GF+FC+FH﹣FC＝2GF，

∴＝＝

故答案為：