Question

【題目】規定：若y表示一個函數，令M=|y|，我們則稱函數M為函數y的“幸福函數”．

（1）請寫出一次函數y=x﹣3的“幸福函數”M的解析式（解析式中不能含有絕對值）；

（2）若一次函數y=與反比例函數y=（k＞0）的“幸福函數”M有三個交點，從左至右依次為A，B，C三點，并且BC=，求點A的坐標；

（3）已知a、b為實數，二次函數y=x2+ax+b的“幸福函數”M，M=2恒有三個不等的實數根．

①求b的最小值；

②若該方程的三個不等實根恰為一直角三角形的三條邊，求a和b的值．

Answer 1

【答案】(1) M=;(2) A(﹣1，8）;(3) ①-2；②a=﹣16,b=62.

【解析】

（1）根據“幸福函數”求解即可；

（2）由題意設B（m，﹣m+），C（n，﹣n+），且m＜n，由BC=，得到，解得n=m+1，則C（m+1，﹣m+﹣），由B、C都在反比例函數y=上，可得m（﹣m+）=（m+1）（﹣m+），解得：m=2，B（2，4），把B（2，4）代入y=得到k=8，解方程組可得的A坐標；

（3）①由題意：拋物線y=x2+ax+b的頂點坐標的縱坐標為﹣2，由此構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題；

②當y=2時，2=x2+ax+b，可得x2+ax+b﹣2=0，設方程的兩個根為x1，x2，（x1＜x2），則x1+x2=﹣a，x1x2=b﹣2，由方程M=2的三個不等實根恰為一直角三角形的三條邊，則有：x22=x12+（﹣）2，構建方程組求出a、b即可．

（1）M=．

（2）由題意設B（m，﹣m+），C（n，﹣n+），且m＜n．

∵BC=，∴，解得：n=m+1，則C（m+1，﹣m+﹣）．

∵B、C都在反比例函數y=上，∴m（﹣m+）=（m+1）（﹣m+），解得：m=2，∴B（2，4），把B（2，4）代入y=得到k=8，由，解得：或，∴A（﹣1，8）．

（3）①由題意：拋物線y=x2+ax+b的頂點坐標的縱坐標為﹣2，∴﹣2=，∴b=a2﹣2．

∵＞0，∴b有最小值，最小值為﹣2．

②當y=2時，2=x2+ax+b，∴x2+ax+b﹣2=0，設方程的兩個根為x1，x2，（x1＜x2），則x1+x2=﹣a，x1x2=b﹣2．

∵方程M=2的三個不等實根恰為一直角三角形的三條邊，則有：x22=x12+（﹣）2，∴（x2+x1）（x2﹣x1）=，∴x2﹣x1=﹣，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=a2，∴a2﹣4（b﹣2）=a2①

b=a2﹣2②

由①②可得：b=62，a=±16．

∵x1+x2=﹣a＞0，∴a＜0，∴a=﹣16．