Question

【題目】我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數書九章》中提出了“三斜求積術”，三斜即指三角形的三條邊長，可以用該方法求三角形面積．若改用現代數學語言表示，其形式為：設為三角形三邊，為面積，則，這是中國古代數學的瑰寶之一．而在文明古國古希臘，也有一個數學家海倫給出了求三角形面積的另一個公式，若設（周長的一半），則

（1）嘗試驗證．這兩個公式在表面上形式很不一致，請你用以為三邊構成的三角形，分別驗證它們的面積值；

（2）問題探究．經過驗證，你發現公式①和②等價嗎？若等價，請給出一個一般性推導過程（可以從或者）；

（3）問題引申．三角形的面積是數學中非常重要的一個幾何度量值，很多數學家給出了不同形式的計算公式．請你證明如下這個公式：如圖，的內切圓半徑為，三角形三邊長為，仍記，為三角形面積，則．

Answer 1

【答案】（1）；（2）公式和等價；推導過程見解析；（3）見解析．

【解析】

分別將5,7,8代入兩個公式計算驗證即可；

求出，把①中根號內的式子可化為：

，即可得出結論；

連接，，由三角形面積公式即可得出結論．

解：由得：，

由得：，

；

公式和等價；推導過程如下：

，

，

中根號內的式子可化為：

，

；

連接，如圖所示：

．