Question

在8×8的正方形網格中建立如圖所示的平面直角坐標系，已知A（2，4），B（4，2）．C是第一象限內的一個格點，由點C與線段AB組成一個以AB為底，且腰長為無理數的等腰三角形．
（1）填空：C點的坐標是______，△ABC的面積是______；
（2）將△ABC繞點C旋轉180°得到△A₁B₁C₁，連接AB₁、BA₁，試判斷四邊形AB₁A₁B是何種特殊四邊形，請說明理由；
（3）請探究：在x軸上是否存在這樣的點P，使四邊形ABOP的面積等于△ABC面積的2倍？若存在，請直接寫出點P的坐標（不必寫出解答過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（1，1），4；

（2）四邊形AB₁A₁B是矩形．
∵AC=A₁C，BC=B₁C，AC=BC
∴AA₁=BB₁
∴四邊形AB₁A₁B是矩形

（3）∵S_△ABC=S_梯形ABDE+S_矩形BDCF-（S_△AEC+S_△BCF）=

1

2

×（1+3）×2+3×1-

1

2

×1×3-

1

2

×1×3=4，
∴四邊形ABOP的面積等于8．
同（1）中的方法得到三點A，B，O構成的面積為6．當P在O左邊時，△APO的面積應為2，高為4，那么底邊長為1，所以P（-1，0）；
當P在O右邊時，△BOP的面積應為2，高為2，所以底邊長為2，此時P坐標為（2，0）．
故點P的坐標為（2，0），（-1，0）．