Question

【題目】（1）問題發現

如圖1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，點D時線段AB上一動點，連接BE．

填空：①的值為　 　； ②∠DBE的度數為　 　．

（2）類比探究

如圖2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，點D是線段AB上一動點，連接BE．請判斷的值及∠DBE的度數，并說明理由；

（3）拓展延伸

如圖3，在（2）的條件下，將點D改為直線AB上一動點，其余條件不變，取線段DE的中點M，連接BM、CM，若AC＝2，則當△CBM是直角三角形時，線段BE的長是多少？請直接寫出答案．

Answer 1

【答案】（1）①1； ②90°；（2）＝，∠DBE＝90°，理由見解析；（3）BE的長為3+或3﹣

【解析】

（1）由直角三角形的性質可得∠ABC＝45°，可得∠DBE＝90°，通過證明△ACD∽△BCE，可得的值；

（2）通過證明△ACD∽△BCE，可得的值，∠CBE＝∠CAD＝60°，即可求∠DBE的度數；

（3）分點D在線段AB上和BA延長線上兩種情況討論，由直角三角形的性質可證CM＝BM＝，即可求DE＝2，由相似三角形的性質可得∠ABE＝90°，BE＝AD，由勾股定理可求BE的長．

解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CAB＝45°，

∴∠ABC＝∠CAB＝45°，

∴AC＝BC，∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，且∠CAB＝∠CDE＝45°，

∴△ACD∽△BCE，

∴，

故答案為：1，90°；

（2），∠DBE＝90°；

理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°，

∴tan∠ABC＝tan30°＝＝，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，

∴Rt△ACB∽Rt△DCE，

∴，

∴，且∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD∽△BCE，

∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°，

∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°；

（3）若點D在線段AB上，如圖，

由（2）知：＝，∠ABE＝90°，

∴BE＝AD，

∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°，

∴AB＝4，BC＝2，

∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且點M是DE中點，

∴CM＝BM＝DE，

且△CBM是直角三角形，

∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，

∴BM＝CM＝，

∴DE＝2，

∵DB2+BE2＝DE2，

∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24，

∴AD＝+1，

∴BE＝AD＝3+；

若點D在線段BA延長線上，如圖，

同理可得：DE＝2，BE＝AD，

∵BD2+BE2＝DE2，

∴（4+AD）2+（AD）2＝24，

∴AD＝﹣1，

∴BE＝AD＝3﹣，

綜上所述：BE的長為3+或3﹣.