Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，對角線AC為⊙O的直徑，過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E，點F為CE的中點，連接DB， DF．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若DB平分∠ADC，AB=∶DE=4∶1，求DE的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】（1）直接利用直角三角形的性質得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；

（2）首先得出AB=BC即可得出它們的長，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=ADAE，進而得出答案．

（1）連接OD．

∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．

∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=∠EDC=90°．

∵點F為CE的中點，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．

又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切線．

（2）∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=∠ABC=90°．

∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴=，∴BC=AB=5．

在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．

又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，

∴△ADC～△ACE，∴=，∴AC2=ADAE．

設DE為x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，

∴100=4x5x，∴x=，∴DE=．