Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ABC=∠ADC=90°，點E、F分別在線段BC、CD上，∠EAF=30°，連接EF．

（1）如圖2，將△ABE繞點A逆時針旋轉60°后得到△A′B′E′（A′B′與AD重合），那么
①∠E′AF度數②線段BE、EF、FD之間的數量關系
（2）如圖3，當點E、F分別在線段BC、CD的延長線上時，其他條件不變，請探究線段BE、EF、FD之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）30°；BE+DF=EF
（2）解：如圖3，在BE上截取BG=DF，連接AG，

在△ABG和△ADF中，

∵ ，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴∠BAG=∠DAF，且AG=AF，

∵∠DAF+∠DAE=30°，

∴∠BAG+∠DAE=30°，

∵∠BAD=60°，

∴∠GAE=60°﹣30°=30°，

∴∠GAE=∠FAE，

在△GAE和△FAE中，

∵ ，

∴△GAE≌△FAE（SAS），

∴GE=FE，

又∵BE﹣BG=GE，BG=DF，

∴BE﹣DF=EF，

即線段BE、EF、FD之間的數量關系為BE﹣DF=EF

【解析】解：（1）①如圖2，

將△ABE繞點A逆時針旋轉60°后得到△A′B′E′，則
∠1=∠2，BE=DE′，AE=AE′，
∵∠BAD=60°，∠EAF=30°，
∴∠1+∠3=30°，
∴∠2+∠3=30°，即∠FAE′=30°
②由①知∠EAF=∠FAE′，
在△AEF和△AE′F中，
∵ ，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF=E′F，即EF=DF+DE′，
∴EF=DF+BE，即線段BE、EF、FD之間的數量關系為BE+DF=EF，
所以答案是：①30°；②BE+DF=EF；
【考點精析】關于本題考查的旋轉的性質，需要了解①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了才能得出正確答案．