Question

已知：關于x的方程mx²-14x-7=0有兩個實數根x₁和x₂，關于y的方程y²-2（n-1）y+n²-2n=0有兩個實數根y₁和y₂，且-2≤y₁＜y₂≤4．當

2

x1+x2

-

6

x1x2

+2（2y₁-y₂²）+14=0時，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：由于兩個方程都有根，可以利用它們的判別式△求出m，n的取值范圍．再由根與系數的關系和已知條件得出m，n的關系式，

解答：解：∵方程mx²-14x-7=0有兩個實數根，則△=196+28m≥0，
∴m≥-7，且m≠0，①
∵方程y²-2（n-1）y+n²-2n=0有兩個實數根，則△=4（n-1）²-4（n²-2n）=4＞0，
分解因式得，（y-n+2）（y-n）=0，
∴y₁=n-2，y₂=n，
∵-2≤y₁＜y₂≤4，
∴-2≤n-2＜n≤4，
解得，0≤n≤4，
∵x₁+x₂=

14

m

，x₁x₂=-

7

m

，
∴

2

x1+x2

-

6

x1x2

+2（2y₁-y₂²）+14=0變形為

m

7

+

6m

7

+2[2（n-2）-n²]+14=0，
化簡得，m=2n²-4n-6．
由二次函數的圖象知，
當0≤n≤4時，-8≤m≤10，②
由①②得：-7≤m≤10，且m≠0．

點評：本題利用了一元二次方程的根與系數的關系和根的判別式及用圖象來解題，正確確定m、n的范圍是解決本題的關鍵．