Question

【題目】如圖，已知是圓的直徑，點是圓上一點，與過點的切線垂直，垂足為點，直線與的延長線相交于點,弦平分，交于點，連接

（1）求證：平分；

（2）求證：是等腰三角形；

（3）若，，求圓的半徑長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3) 圓的半徑為.

【解析】

（1）根據切線的性質得OC⊥DP，而AD⊥DP，則肯定判斷OC∥AD，根據平行線的性質得∠DAC=∠OCA，加上∠OAC=∠OCA，所以∠OAC=∠DAC,即可求證.
（2）根據圓周角定理由AB為圓O的直徑得∠ACB=90°，則∠BCE=45°，再利用圓周角定理得∠BOE=2∠BCE=90°，則∠OFE+∠OEF=90°，易得∠CFP+∠OEF=90°，再根據切線的性質得到∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，根據等角的余角相等得到∠PCF=∠CFP，于是可判斷△PCF是等腰三角形；
（3）連結OE．由AB為 O的直徑，得到∠ACB=90°，根據角平分線的定義得到∠BCE=45°，設圓O的半徑為r，則OF=6-r，根據勾股定理列方程即可得到結論．

(1)證明：∵為圓的切線，

∴，

∵，

∴//,

∴，

∵

∴，

∴，

∴平分；

(2)證明：∵是圓的直徑，

∴，

∵平分∠，

∴，

∴，

∴，

而，

∴，

∵，

∴,即，

而，

∴，

∴是等腰三角形；

(3)連結，

∵是圓的直徑,

∴，

∵平分∠,

∴，

∴，即，

設圓的半徑為，則，

在中,

∵，

∴，

解得，

當時,(符合題意)，

當時,(不合題意,舍去)，

∴圓的半徑為.