Question

【題目】以△ABC的三邊在BC同側分別作三個等邊三角形△ABD，△BCE ，△ACF，試回答下列問題：

（1）四邊形ADEF是什么四邊形？請證明：

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形？

（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是菱形？

（4）當△ABC滿足什么條件時，能否構成正方形？

（5）當△ABC滿足什么條件時，無法構成四邊形？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當△ABC中的∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；（3）當△ABC中的AB=AC時，四邊形ADEF是菱形；（4）當∠BAC=150°且AB=AC時，四邊形ADEF是正方形；（5）當∠BAC=60°時，D、A、F為同一直線，與E點構不成四邊形，即以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在．

【解析】

（1）通過證明△DBE≌△ABC，得到DE=AC，利用等邊三角形ACF，可得DE=AF，

同理證明與全等，利用等邊三角形，得AD=EF，可得答案．（2）利用平行四邊形ADEF是矩形，結合已知條件等邊三角形得到即可．（3）利用平行四邊形ADEF是菱形形，結合已知條件等邊三角形得到即可．（4）結合（2）（3）問可得答案．（5）當四邊形ADEF不存在時，即出現三個頂點在一條直線上，因此可得答案。

解：（1） ∵△BCE、△ABD是等邊三角形，

∴∠DBA=∠EBC=60°，AB=BD，BE=BC，

∴∠DBE=∠ABC，

∴△DBE≌△ABC，

∴DE=AC，

又△ACF是等邊三角形， ∴AC=AF，

∴DE=AF，

同理可證：AD=EF，

∴四邊形ADEF是平行四邊形．

（2） 假設四邊形ADEF是矩形， 則∠DAF=90°，

又∠DAB=∠FAC=60°， ∠DAB+∠FAC+∠DAF+∠BAC=360°

∴∠BAC=150°．

因此當△ABC中的∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形．

（3）假設四邊形ADEF是菱形， 則AD=DE=EF=AF

∵AB=AD，AC=AF，∴AB=AC

因此當△ABC中的AB=AC時，四邊形ADEF是菱形．

（4）結合（2）（3）問可知當∠BAC=150°且AB=AC時，

四邊形ADEF是正方形．

（5）由圖知道：∠DAB+∠FAC+∠DAF+∠BAC=360°

∴當∠BAC=60°時，D、A、F為同一直線，與E點構不成四邊形，

即以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在．