Question

【題目】如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，且線段OA、OC（OA＞OC）是方程x2﹣18x+80=0的兩根，將邊BC折疊，使點B落在邊OA上的點D處．

（1）求線段OA、OC的長；
（2）求直線CE與x軸交點P的坐標及折痕CE的長；
（3）是否存在過點D的直線l，使直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應的直線；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：方程x2﹣18x+80=0，

因式分解得：（x﹣8）（x﹣10）=0，

即x﹣8=0或x﹣10=0，

解得：x1=8，x2=10，

∴OA=10，OC=8

（2）

解：由折疊可知：△EBC≌△EDC，∴EB=ED，

∴CB=CD，又矩形OABC，∴AB=OC=8，

∴CB=CD=OA=10，又OC=8，

在Rt△OCD中，根據勾股定理得：OD= =6，

∴AD=OA﹣OD=10﹣6=4，

又BE+EA=AB=8，且EB=ED，

∴DE+EA=8，即DE=8﹣EA，

在Rt△AED中，設AE=x，則DE=8﹣x，又AD=4，

根據勾股定理得：（8﹣x）2=x2+16，

整理得：16x=48，

解得：x=3，

則E的坐標為（10，3），又C（0，8），

設直線CE的解析式為y=kx+b，

將C與E坐標代入得： ，

解得：k=﹣ ，b=8，

則直線CE解析式為y=﹣ x+8，

令y=0求出x=16，即P坐標為（16，0）；

此時BE=BA﹣EA=8﹣3=5，又BC=OA=10，

在Rt△BCE中，根據勾股定理得：

CE= =5

（3）

解：存在．滿足條件的直線l有2條：y=﹣2x+12，y=2x﹣12．

如圖2：

【解析】（1.）利用式子相乘法把方程左邊分解為兩一次因式積的形式，然后根據兩數相乘積為0，兩數中至少有一個為0，轉化為兩個一元一次方程，分別求出方程的解得到原方程的解，根據OA大于OC，即可得到OA及OC的長；（2.）由折疊可知三角形EBC與三角形EDC全等，根據全等三角形的對應邊相等得到EB=ED，CB=CD，又矩形ABCD對邊相等，從而得到CD的長，再由OC的長，利用勾股定理求出OD的長，進而求出AD的長，在直角三角形AED中，設EA=x，則DE=8﹣x，再由AD的長，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到AE的長，即為E的縱坐標，而OA的長即為E的橫坐標，確定出E的坐標，同時得到BE的長，再由BC的長，在直角三角形BCE中，利用勾股定理求出折痕CE的長；
（3.）存在，應該有兩條如圖：
①直線BF，根據折疊的性質可知CE必垂直平分BD，那么∠DGP=∠CGF=90°，而∠CFG=∠DPG（都是∠OCP的余角），由此可得出兩三角形相似，那么可根據B、D兩點的坐標求出此直線的解析式．
②直線DN，由于∠FCO=∠NDO，那么可根據∠OCE即∠BEC的正切值，求出∠NDO的正切值，然后用OD的長求出ON的值，即可求出N點的坐標，然后根據N、D兩點的坐標求出直線DN的解析式．