Question

（ 10分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點為C．延長AB交CD于點E．連接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于點F，交⊙O于點G．
（1）  求證：AD是⊙O的切線；
（2）  如果⊙O的半徑是6cm，EC=8cm，求GF的長．

Answer 1

解：（1）證明：連接OC．
∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90°．∴∠OCA+∠ACD=90°．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC．∵∠DAC=∠ACD，∴∠0AC+∠CAD=90°．∴∠OAD=90°．∴AD是⊙O的切線．

（2）連接BG；∵OC=6cm，EC=8cm，∴在Rt△CEO中，OE==10．
∴AE=OE+OA=1．∵AF⊥ED，∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．
∴Rt△AEF∽Rt△OEC．∴=．即：=．∴AF=9.6．
∵AB是⊙O的直徑，∴∠AGB=90°．∴∠AGB=∠AFE．
∵∠BAG=∠EAF，∴Rt△ABG ∽Rt△AEF．∴=．即：=．∴AG=7.2．
∴GF=AF-AG="9.6-7.2=2.4(cm)" ．

略