Question

【題目】（模型建立）

（1）如圖1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經過點C，過點A作AD⊥ED于點D，過點B作BE⊥ED于點E，求證：△BEC≌△CDA；

（模型應用）

（2）如圖2，已知直線l1：y＝x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，將直線l1繞點A逆時針旋轉45°至直線l2；求直線l2的函數表達式；

（3）如圖3，平面直角坐標系內有一點B（3，﹣4），過點B作BA⊥x軸于點A、BC⊥y軸于點C，點P是線段AB上的動點，點D是直線y＝﹣2x+1上的動點且在第四象限內．試探究△CPD能否成為等腰直角三角形？若能，求出點D的坐標，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）；（3）點D坐標得（，）或（4，7）或（，）．

【解析】

（1）由垂直的定義得∠ADC=∠CEB=90°，平角的定義和同角的余角的相等求出∠DAC=∠ECB，角角邊證明△CDA≌△BEC；

（2）證明△ABO≌∠BCD，求出點C的坐標為（-3，5），由點到直線上構建二元一次方程組求出k=5，b=10，待定系數法求出直線l2的函數表達式為y=-5x-10；

（3）構建△MCP≌△HPD，由其性質，點D在直線y=-2x+1求出m=或n=0或，將m的值代入，得點D坐標得（，）或（4，7）或（，）．

解：（1）如圖1所示：

∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BEC=90°，
又∵∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△CDA和△BEC中，

，

∴△CDA≌△BEC（AAS）；
（2）過點B作BC⊥AB交AC于點C，CD⊥y軸交y軸于點D，如圖2所示：

∵CD⊥y軸，x軸⊥y軸，
∴∠CDB=∠BOA=90°，
又∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD=180°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
又∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
又∵∠BAC=45°，
∴∠ACB=45°，
∴AB=CB，
在△ABO和∠BCD中，

，

∴△ABO≌∠BCD（AAS），
∴AO=BD，BO=CD，
又∵直線l1：y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴點A、B兩點的坐標分別為（-2，0），（0，3），
∴AO=2，BO=3，
∴BD=2，CD=3，
∴點C的坐標為（-3，5），
設l2的函數表達式為y=kx+b（k≠0），
點A、C兩點在直線l2上，依題意得：

，

∴，

∴直線l2的函數表達式為y=5x10；

（3）能成為等腰直角三角形，依題意得，
①若點P為直角時，如圖3甲所示：

設點P的坐標為（3，m），則PB的長為4+m，
∵∠CPD=90°，CP=PD，
∠CPM+∠CDP+∠PDH=180°，
∴∠CPM+∠PDH=90°，
又∵∠CPM+∠DPM=90°，
∴∠PCM=∠PDH，
在△MCP和△HPD中，

，

∴△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM=PH，PM=PD，
∴點D的坐標為（7+m，-3+m），
又∵點D在直線y=-2x+1上，
∴-2（7+m）+1=-3+m，
解得：m=，

即點D的坐標為（，）；

②若點C為直角時，如圖3乙所示：

設點P的坐標為（3，n），則PB的長為4+n，
CA=CD，
同理可證明△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM=CH，MC=HD，
∴點D的坐標為（4+n，-7），
又∵點D在直線y=-2x+1上，
∴-2（4+n）+1=-7，
解得：n=0，
∴點P與點A重合，點M與點O重合，
即點D的坐標為（4，-7）；
③若點D為直角時，如圖3丙所示：

設點P的坐標為（3，k），則PB的長為4+k，
CD=PD，
同理可證明△CDM≌△PDQ（AAS），
∴MD=PQ，MC=DQ，
∴點D的坐標為（，），
又∵點D在直線y=-2x+1上，
∴-2×+1=，
解得：k=，
∴點P與點A重合，點M與點O重合，
即點D的坐標為（，）；

綜合上述，點D坐標得（，）或（4，7）或（，）．