Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3（a≠0）的頂點為E，該拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且BO=OC,AO=DO，直線y=mx+1與y軸交于點D．

（1）求拋物線和直線的解析式；

（2）證明：△DBO∽△EBC；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的P點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+1，y=x2﹣2x﹣3（2）證明見解析（3）P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）

【解析】分析：（1）拋物線，求出即可求得點的坐標，根據，求得點的坐標，代入一次函數即可確定一次函數解析式，進而求得點的坐標，根據求得點的坐標，根據待定系數法即可確定二次函數解析式.
（2）先把拋物線解析式配成頂點式得到E（1，-4），再利用一次函數解析式確定D（0，1），則利用兩點間的距離公式可計算出

而得到 然后根據相似三角形的判定方法可判斷
（3）設設P(1,m),則利用兩點間的距離公式可得 然后分類討論即可.

詳解：(1)∵拋物線，

∴

∵

把代入得

∴直線解析式為,

∵直線與y軸交于點D，

∵

∵該拋物線與x軸交于A、B兩點，

解得：

∴拋物線解析式為

(2)證明：∵

∴E(1,4)，

當x=0時, ,則D(0,1)，

∵B(3,0),A(1,0),C(0,3)，

∴

∵

∴

∴△BCE∽△BDO；

(3)存在，

理由：拋物線的對稱軸為直線x=1,設P(1,m),則

當PB=PC時,△PBC是等腰三角形,則m2+4=(m+3)2+1,解得m=1,此時P(1,1)，

當PB=BC時,△PBC是等腰三角形,則m2+4=18,解得 此時或

當PC=BC時,△PBC是等腰三角形,則(m+3)2+1=18,解得此時 或

綜上所述,當符P點坐標為(1,1)或或或或時，△PBC是等腰三角形。