Question

【題目】閱讀下面材料：

小昊遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC邊上的中線，點D在BC邊上，CD：BD=1：2，AD與BE相交于點P，求的值．

小昊發現，過點A作AF∥BC，交BE的延長線于點F，通過構造△AEF，經過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）．請回答：的值為　．

參考小昊思考問題的方法，解決問題：

如圖 3，在△ABC中，∠ACB=90°，點D在BC的延長線上，AD與AC邊上的中線BE的延長線交于點P，DC：BC：AC=1：2：3 ．

（1）求的值；

（2）若CD=2，則BP=__________．

Answer 1

【答案】的值為；（1）；（2） 6.

【解析】試題分析：易證△AEF≌△CEB，則有AF=BC．設CD=k，則DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根據相似三角形的性質就可求出的值；

解決問題：（1）過點A作AF∥DB，交BE的延長線于點F，設DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易證△AEF≌△CEB，則有EF=BE，AF=BC=2k．易證△AFP∽△DBP，然后根據相似三角形的性質就可求出的值；

（2）當CD=2時，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根據的值求出，就可求出BP的值．

試題解析：解：的值為．

易證△AEF≌△CEB，則有AF=BC．

設CD=k，則DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，即可得到==．故答案為：；

解決問題：

（1）過點A作AF∥DB，交BE的延長線于點F，如圖，設DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．∵E是AC中點，∴AE=CE．∵AF∥DB，∴∠F=∠1．

在△AEF和△CEB中，∵∠F=∠1，∠2=∠3，AE=CE，∴△AEF≌△CEB，∴EF=BE，AF=BC=2k．∵AF∥DB，∴△AFP∽△DBP，∴=，∴的值為；

（2）當CD=2時，BC=4，AC=6，∴EC=AC=3，EB==5，∴EF=BE=5，BF=10．∵（已證），∴，∴BP=BF=×10=6．

故答案為：6．