Question

【題目】如圖1，AB＝AC，EF＝EG，△ABC≌△EFG，AD⊥BC于點D，EH⊥FG于點H

(1) 直接寫出AD、EH的數量關系：___________________

(2) 將△EFG沿EH剪開，讓點E和點C重合

① 按圖2放置△EHG，將線段CD沿EH平移至HN，連接AN、GN，求證：AN⊥GN

② 按圖3放置△EHG，B、C（E）、H三點共線，連接AG交EH于點M．若BD＝1，AD＝3，求CM的長度

Answer 1

【答案】（1）AD=EH；（2）見解析；（3）CM=2.

【解析】

（1）由△ABC≌△EFG，可知面積相等，利用面積公式可得高相等；

（2）如圖所示，設AN、CH交于點P，CH、NG交于點O，由CD平移到NH可知四邊形CDNH為平行四邊形，所以CH=DN=AD，可得出△AND為等腰三角形，再由GH=CD=NH可得出△GHN為等腰三角形，由于兩個等腰三角形頂角相等，可推出底角相等，在△OPN和△OGH中，可由∠OPN=∠PND=∠NGH，可推出∠PNO=90°，則AN⊥GN；

（3由AD⊥BH，GH⊥BH，可得AD∥GH，所以，再由DH=DC+EH=1+3=4，

可求出DM=3，∴CM=3-1=2.

解：（1）∵△ABC≌△EFG，

∴BC=FG，

∴

∴AD=EH

（2）如圖所示，設AN、CH交于點P，CH、NG交于點O

CD平移到NH可得四邊形CDNH為平行四邊形

∴CH=DN，∠CDN=∠CHN，DN∥CH

又∵EH=AD，∴AD=DN，即△AND為等腰三角形

∵GH=CD=NH，∴△GHN為等腰三角形，

∵∠ADN=∠ADC+∠CDN=90°+∠CDN

∠NHG=∠CHG+∠CHN=90°+∠CHN

而∠CDN=∠CHN

∴∠ADN=∠NHG，

∴，

∴∠AND=∠NGH

又∵DN∥CH，∴∠AND=∠NPH，∴∠NGH=∠NPH

在△OPN和△OGH中

∠NPH=∠NGH，∠PON=∠GOH，

∴∠PNO=∠OGH=90°，

∴AN⊥GN

（3）由△ABC≌△EFG可得CD=BD=1，EH=AD=3

∵AD⊥BH，GH⊥BH

∴AD∥GH，∴，∴

又∵DH=DC+EH=1+3=4

∴DM=3，

∴CM=DM-DC=3-1=2.