Question

【題目】如圖，直線與軸相交于點，直線經過點，與軸交于點，與軸交于點，與直線相交于點．

求直線的函數關系式；

點是上的一點，若的面積等于的面積的倍，求點的坐標．

設點 的坐標為 ，是否存在 的值使得 最小？若存在，請求出點 的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x-2；（2）（ ，）或（， ）；（3）（，3）．

【解析】

（1）把點（3，-1），點B（6，0）代入直線l2，求出k、b的值即可；
（2）設點P的坐標為（t， t-2），求出D點坐標，再由S△ABP=2S△ABD求出t的值即可；
（3）作直線y=3，作點A關于直線y=3的對稱點A′，連結A′B，利用待定系數法求出其解析式，根據點Q（m，3）在直線A′B上求出m的值，進而可得出結論．

解：（1）由題知：

解得：

，
故直線l2的函數關系式為：y=x-2；
（2）由題及（1）可設點P的坐標為（t， t-2）．
解方程組 ，得 ，
∴點D的坐標為（，-）．
∵S△ABP=2S△ABD，
∴AB|t-2|=2×AB|-|，即|t-2|=，解得：t=或t=，
∴點P的坐標為（ ，）或（， ）；
（3）作直線y=3（如圖），再作點A關于直線y=3的對稱點A′，連結A′B．

由幾何知識可知：A′B與直線y=3的交點即為QA+QB最小時的點Q．
∵點A（3，0），
∴A′（3，6）
∵點B（6，0），
∴直線A′B的函數表達式為y=-2x+12．
∵點Q（m，3）在直線A′B上，
∴3=-2m+12
解得：m=，
故存在m的值使得QA+QB最小，此時點Q的坐標為（，3）．