Question

已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，將直角三角板中45°角的頂點(diǎn)放在點(diǎn)C處，并將三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊分別交AB邊于D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，并且點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），設(shè)AD=m，DE=x，BE=n．
（1）判斷以m、x、n為三邊長組成的三角形的形狀，并說明理由；
（2）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)時(shí)，找出AD、DE、BE三條線段中始終最長的線段，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）作△CAD關(guān)于CD所在直線的軸對(duì)稱三角形CFD，連接EF．可證明∠3=∠4，即可證明△FCE≌△BCE，則FE=BE=n，∠CFE=∠B=45°，∠DFE=∠CFD+∠CFE=90°，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)FD=AD，F(xiàn)E=BE，則AD、DE、BE的三條線段中，始終最長的是DE．

解答：解：（1）結(jié)論：以m、x、n為三邊長組成的三角形是直角三角形．
證明：如圖，作△CAD關(guān)于CD所在直線的軸對(duì)稱三角形CFD，連接EF．
則CF=CA，DF=DA=m，∠2=∠1，∠CFD=∠A=45°，
∵AC=BC，∴CF=CB，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠2+∠3=45°，∠1+∠4=45°．
∴∠3=∠4，
在△ECF和△BCE中，

CF=CB ∠3=∠4 CE=CE

，
∴△FCE≌△BCE，
∴FE=BE=n，∠CFE=∠B=45°，
∴∠DFE=∠CFD+∠CFE=90°．
∴△DEF是直角三角形，即以m、x、n為三邊長組成的三角形是直角三角形．

（2）∵（1）中Rt△DEF的DE為斜邊，F(xiàn)D=AD，F(xiàn)E=BE，
∴AD、DE、BE的三條線段中，始終最長的是DE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．