Question

已知：如圖，Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸的正半軸和y軸的負半軸上，C為OA上一點且OC=OB，拋物線y=（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）（m、p為常數且m+2≥2p＞0）經過A、C兩點．
（1）用m、p分別表示OA、OC的長；
（2）當m、p滿足什么關系時，△AOB的面積最大．

Answer 1

分析：（1）因為A、C點都在x軸上，所以令y=0即可求出p的值．
（2）根據三角形的面積公式列出△AOB的面積表達式，再根據二次函數最值的表達式求解即可．

解答：解：（1）令y=0得：（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）=0，
x²-mx-2x=p²-pm-2p，
∴（x-p）（x+p）-x（m+2）+p（m+2）=0，
整理得：（x-p）（x-m-2+p）=0，
∴x₁=p，x₂=m+2-p，
∵m+2≥2p＞0
∴m+2-p≥p＞0，
∴OA=m+2-p，OC=P．

（2）∵OC=OB，S_△AOB=

1

2

OA•OB，
∴S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

P•（m+2-p），
=-

1

2

P²+

1

2

（m+2）•P，
∴當p=-

1 2 (m+2)

2×(- 1 2 )

=

1

2

（m+2）時，S_△AOB最大．

點評：掌握二次函數的圖象，最大值，最小值，二次函數中求三角形面積的問題，通常情況下都是涉及其最高點，最低點的問題．