Question

（i）有這樣一道題：“

x2-2x+1

x2-1

÷

x-1

x2+x

-x，其中x=2007”甲同學把“x=2007”錯抄成“x=2070”，但他計算的結果也是正確的，你說這是怎么一回事？

（ii）閱讀下列解題過程，并填空：
解方程

1

x+2

+

4x

(x+2)(x-2)

=

2

2-x

解：方程兩邊同時乘以（x+2）（x-2）
去分母得：①
（x-2）+4x=2（x+2）②
去括號，移項得
x-2+4x-2x-4=0    ③
解這個方程得x=2④
所以x=2是原方程的解⑤問題：（1）上述過程是否正確答：

 

．
（2）若有錯，錯在第

 

步．
（3）錯誤的原因是

 

（4）該步改正為

 

．

（iii）E是正方形ABCD的對角線BD上一點，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分別是F、G．求證：AE=FG，

Answer 1

分析：（1）對分式化簡后得到的是一個數字，則說明不管x取何值，原分式的值不變；
（2）第二步在都乘以公分母時，右邊符號出錯，少了一個負號，第五步沒有檢驗就說是原分式方程的解；
（3）連接CE，把求AE=FG，轉化成求CE=AE．根據題意，可以容易得出四邊形GEFC是矩形，那么本題可證．

解答：解：（i）

x2-2x+1

x2-1

÷

x-1

x2+x

-x=

(x-1)2

(x-1)(x+1)

•

x(x+1)

(x-1)

-x=x-x=0，
通過計算說明：當x取式子有意義的任何值時，結果與取的值無關．
故甲同學把“x=2007”錯抄成“x=2070”，但他計算的結果也是正確的．

（ii）（1）不正確；
（2）錯在②步和⑤步；
（3）②方程右邊去分母后x-2與2-x互為相反數，約分后，應為-2（x+2），⑤沒有檢驗，
不能直接說明是否是原方程的根；
（4）去分母，得：
（x-2）+4x=-2（x+2）
去括號，移項得：
x-2+4x+2x+4=0
解這個方程得x=-

2

7

，
檢驗：把x=-

2

7

代入（x+2）（x-2）≠0
所以，原方程的解為x=-

2

7

．

（iii）證明：連接EC，
∵EF⊥BC，EG⊥CD，
∴∠EFC=∠EGC=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，∠ABD=∠CBD，AB=CB，
∴四邊形EFCG是矩形，
∴EC=GF，
在△ABE和△CBE中
∵AB=CB，∠ABD=∠CBD，BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=FG．

點評：本題利用了，一個分式化簡后若是一個具體數值，則說明分式的值與x的取值無關，還利用了解分式方程時，注意乘以公分母符號問題，還有矩形的判定（有三個角是直角的四邊形是矩形）等知識．