Question

如圖所示是二次函數y=-x²+4x圖象上的一段，其中0≤x≤4、若矩形ABCD的兩個頂點A，B落在x軸上，另外兩個頂點C，D落在函數圖象上，則矩形ABCD的周長能否恰好為8？若能，請求出C，D兩點坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

假設周長恰好是8，設點A的橫坐標為x，
∵y=-x²+4x，
∴頂點橫坐標為-

4

2×(-1)

=2，
∴點B的橫坐標為2+（2-x）=4-x，
∴AB=4-x-x=4-2x；
∴D點縱坐標為-x²+4x，
即AD=-x²+4x；
∴AD+AB=-x²+4x+（4-2x）=

1

2

×8，
∴x=0或2；
∴當x=0時，-x²+4x=0，D和C點縱坐標為0，構不成矩形．
∴當x=2時，-x²+4x=4，只有一個最高點存在，同樣構不成矩形，
綜合可知，與能構成矩形矛盾，故不存在．