Question

【題目】已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是過點A的直線，過點D作DB⊥MN于點B，連接CB.

（1）問題發現

如圖①過點C作CE⊥CB，與MN交于點E，則易發現BD和EA之間的數量關系為 ；BD、AB、CB之間的數量關系為 .

（2）拓展探究

當MN繞點A旋轉到如圖②位置時，BD、AB、CB之間滿足怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并證明.

（3）解決問題

當MN繞點A旋轉到如圖③位置時（點C，D在直線MN兩側），若此時∠BCD=30°，BD=2，則CB= .

Answer 1

【答案】（1）BD=AE，；（2），見解析；（3）

【解析】

（1）過點C作CE⊥CB，得到∠BCD=∠ACE，判斷出△ACE≌△DCB，確定△ECB為等腰直角三角形即可．

（2）過點C作CE⊥CB于點C，判斷出△ACE≌△DCB，確定△ECB為等腰直角三角形，即可得出結論；

（3）先判斷出△ACE≌△BCD，CE=BC，得到△BCE為等腰直角三角形，得到，求出BH，再用勾股定理即可．

解：（1）如圖1，過點C作⊥CB交MN于點E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°-∠ACB，∠BCD=90°-∠ACB，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴在四邊形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360°，

∴∠BAC+∠D=180°，

∵∠CAE+∠BAC=180°，

∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

，

∴BE=AE+AB=DB+AB，

，

故答案為：BD=AE，；

（2）如圖2，過點C作⊥CB交MN于點E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°-∠AFB，∠D=90°-∠CFD，

∵∠AFB=∠CFD，

∴∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

，

，

；

（3）如圖3，過點C作⊥CB交MN于點E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°-∠DCE，

∠BCD=90°-∠DCE，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠CFD，

∵∠AFC=∠BFD，

∴∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

，

，

，

∵△BCE為等腰直角三角形，

∴∠BEC=∠CBE=45°，

∵∠ABD=90°，

∴∠DBH=45°

過點D作DH⊥BC，

∴△DHB是等腰直角三角形，

，

，

在Rt△CDH中，，

，

，

故答案為：.