Question

【題目】在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），動點P從O點出發，沿x軸正方向以2個單位/秒的速度運動．過P作PQ⊥OA于Q．設P點運動的時間為t秒（0＜t＜2），△OPQ與四邊形OABC重疊的面積為S．

（1）求經過O、A、B三點的拋物線的解析式并確定頂點M的坐標；
（2）用含t的代數式表示P、Q兩點的坐標；
（3）將△OPQ繞P點逆時針旋轉90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點O或Q落在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由；
（4）求S與t的函數解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線過點A（1，﹣1），B（3，﹣1），

∴拋物線的對稱軸為直線x=2，

∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（4，0），

設拋物線的解析式為y=ax（x﹣4），

把A（1，﹣1）代入得a1（﹣3）=﹣1，解得a= ，

∴拋物線的解析式為y= x（x﹣4），即y= x2﹣ x；

∵y= （x﹣2）2﹣ ，

∴頂點M的坐標為（2，﹣ ）；

（2）

解：作QN⊥x軸于N，AH⊥x軸于H，如圖1，

∵A（﹣1，1），

∴OH=AH=1，

∴△AOH為等腰直角三角形，

∴△ONQ為等腰直角三角形，

∴QN=ON=NP= OP=t，

∴P（2t，0），Q（t，﹣t）；

（3）

解：存在．

△OPQ繞P點逆時針旋轉90°得到△O′PQ′，如圖2，作Q′K⊥x軸于K，

∠QPQ′=90°，PO′⊥x軸，PO′=PO=2t，PQ′=PQ= t，則O′（2t，﹣2t）；

∵∠KPQ′=90°﹣∠OPQ=45°，

∵△PQ′K為等腰三角形，

∴PK=Q′k=t，

∴Q′（3t，﹣t），

當O′（2t，﹣2t）落在拋物線上時，﹣2t= 4t2﹣ 2t，解得t1=0，t2= ；

當Q′（3t，﹣t）落在拋物線上時，﹣t= 9t2﹣ 3t，解得t1=0，t2=1；

綜上所述，當t為 或1時，使得△OPQ的頂點O或Q落在拋物線上；

（4）

解：當0＜t≤1時，如圖1，S= t2t=t；

當1＜t≤ 時，如圖3，PQ交AB于E點，S=S△POQ﹣S△AEQ= t2t﹣ （t﹣1）

2（t﹣1）=2t﹣1；

當 ＜t≤2，如圖4，PQ交AB于E點，交BC于F點，

∵△POQ為等腰直角三角形，

∴∠CPF=45°，

∴△PCF為等腰直角三角形，

∴PC=CF=2t﹣3，

∴BF=1﹣（2t﹣3）=4﹣2t，

∴S△BEF= （4﹣2t）2=2t2﹣8t+8，

∴S=S梯形OABC﹣S△BEF= （2+3）1﹣（2t2﹣8t+8）=﹣2t2+8t﹣ ．

【解析】（1）利用對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為（4，0），則設交點式y=ax（x﹣4），然后把A點坐標代入求出a即可得到拋物線的解析式，再利用配方法得到頂點M的坐標；（2）作QN⊥x軸于N，AH⊥x軸于H，如圖1，先判定△AOH和△ONQ為等腰直角三角形得到QN=ON=NP= OP=t，然后用t表示出P點和Q點坐標；（3）△OPQ繞P點逆時針旋轉90°得到△O′PQ′，如圖2，作Q′K⊥x軸于K，利用旋轉的性質得∠QPQ′=90°，PO′⊥x軸，PO′=PO=2t，PQ′=PQ= t，再確定O′（2t，﹣2t），Q′（3t，﹣t），然后分別把O′（2t，﹣2t）或Q′（3t，﹣t）代入拋物線解析式可求出對應的t的值；（4）根據△OPQ與四邊形OABC重疊部分的圖形不同分類討論：當0＜t≤1時，重疊部分為三角形，如圖1，利用三角形面積公式表示出S；當1＜t≤ 時，如圖3，PQ交AB于E點，重疊部分為梯形，利用三角形面積的差表示S；當 ＜t≤2，如圖4，PQ交AB于E點，交BC于F點，重疊部分為梯形OABC減去△BEF，則利用梯形的面積減去三角形面積可表示出S．