Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB為半徑的圓經過點D，交BC于點E．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若OB=10，CD=8，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）12．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，由BD為角平分線得到一對角相等，根據OB=OD，等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，進而確定出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA為直徑，即可得證；

（2）由OD與BC平行得到三角形OAD與三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的長，進而確定出AB的長，連接EF，過O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的長，由BG+GC求出BC的長，再由三角形BEF與三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的長即可．

試題解析：（1）證明：連接OD，∵BD為∠ABC平分線，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BC，∵∠C=90°，∴∠ODA=90°，則AC為圓O的切線；

（2）解：過O作OG⊥BC，∴四邊形ODCG為矩形，∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，∴BC=BG+GC=6+10=16，∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴，即，解得：OA=，∴AB=+10=，連接EF，∵BF為圓的直徑，∴∠BEF=90°，∴∠BEF=∠C=90°，∴EF∥AC，∴，即，解得：BE=12．