Question

【題目】如圖，點D是⊙O直徑CA的延長線上一點，點B在⊙O上，且AB=AD=AO．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）若點E是劣弧BC上一點，弦AE與BC相交于點F，且CF=9，cos∠BFA=，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）EF=6．

【解析】分析：（1）連接BO，根據三角形的內角和定理可判斷△DOB是直角三角形，則∠OBD=90°，BD是⊙O的切線；

（2）根據圓周角定理，易證△AFB∽△CFE，結合相似比，即可得出EF的長；

詳解：（1）證明：連接BO，

∵AB=AD

∴∠D=∠ABD

∵AB=AO

∴∠ABO=∠AOB

又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°

∴∠OBD=90°，即BD⊥BO

∴BD是⊙O的切線；

（2）解：連接CE，

∵AC是直徑，

∴∠ABC=∠CEA=90°，

又∵∠AFB=∠CFE，

∴△AFB∽△CFE，

∴，又CF=9，cos∠BFA=，

∴EF=×9=6．