Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AB，垂足為E．

（1）求證：DE是⊙O的切線．

（2）若DE，∠C＝30°，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可；
（2）連接AD，根據AC是直徑，得到∠ADC=90°，利用AB=AC得到BD=CD，解直角三角形求得BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD，根據題意證得△AOD是等邊三角形，即可OD=AD，然后利用弧長公式求得即可．

（1）證明：連接OD；

∵OD＝OC，

∴∠C＝∠ODC，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠B＝∠ODC，

∴OD∥AB，

∴∠ODE＝∠DEB；

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，

∴∠ODE＝90°，

即DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切線．

（2）連接AD，

∵AC是直徑，

∴∠ADC＝90°，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD，

∴∠OAD＝60°，

∵OA＝OD，

∴△AOD是等邊三角形，

∴∠AOD＝60°，

∵DE=，∠B＝30°，∠BED＝90°，

∴CD＝BD＝2DE＝2，

∴OD＝AD＝tan30°CD，

∴的長為：．