Question

【題目】如圖，已知B（0，b）（b＞0）是y軸上一動點，直線l經過點A（1，0）及點B，將Rt△ABO折疊，使得點B與點O重合，折痕分別交y軸、直線AB于點E、F，連接OF．

（1）當b＝2時，求直線l的函數解析式；

（2）請用含有字母b的代數式表示線段OF的長，并說明線段OF與線段AB的數量關系；

（3）如圖，在（1）的條件下，設點P是線段AB上一動點（不與A、B重合），將線段OP繞點O逆時針旋轉90°至OQ，連結BQ、PQ，PQ交y軸于點T，設點P的橫坐標為t．

①當△OPQ的面積最小時，求T的坐標；

②若△OPB是等腰三角形，請直接寫出滿足條件的t的值；

③若△OQB是直角三角形，請直接寫出滿足條件的t的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+2；（2）OF＝，OF＝AB，見解析；（3）①T（0，），②t的值為或，③t的值為1﹣.

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題；

（2）利用勾股定理求出AB，利用直角三角形斜邊中線的性質即可解決問題；

（3）①根據垂線段最短可知，當OP⊥AB時，△OPQ的面積最小，求出P，Q的坐標，求出直線PQ的解析式即可解決問題；②分兩種情形分別求解即可解決問題；③如圖5中，取OB的中點G，連接BG．設P（t，-2t+2），求出點Q坐標，根據QG=1構建方程即可解決問題．

（1）如圖1中，

由題意A（1，0），B（0，2），設直線AB的解析式為y＝kx+b，則有，

解得，

∴直線l的解析式為y＝﹣2x+2；

（2）如圖1中，∵OB＝b，OA＝1，

∴AB＝，

∵EF垂直平分線段BO，

∴BF＝FO，

∵EF∥OA，

∴BF＝AF，

∴OF＝AB＝；

（3）①如圖2中，作PE⊥x軸于E，QF⊥x軸于F．

∵△POQ是等腰直角三角形，

∴當OP的值最小時，△POQ的面積最小，

根據垂線段最短可知，當OP⊥AB時，△OPQ的面積最小，

∵直線OP的解析式為y＝x，

由，

解得，

∴P（，），

∴OE＝，PE＝，

∵∠PEO＝∠QFO＝∠POQ＝90°，

∴∠POE+∠QOF＝90°，∠POE+∠OPE＝90°，

∴∠QOF＝∠OPE，

∵OP＝OQ，

∴△OEP≌△QFO（AAS），

∴QF＝OE＝，OF＝PE＝，

∴Q（﹣，），

∴直線PQ的解析式為y＝﹣x+，

∴T（0，）；

②如圖3中，當BP＝OB＝2時，作PE⊥OA于E．

∵PE∥OB，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴PE＝，AE＝，

∴OE＝1﹣＝．

∴t＝．

如圖4中，當PB＝PA時，OP＝PB滿足條件，此時t＝．

綜上所述，滿足條件的t的值為或；

③如圖5中，取OB的中點G，連接BG．設P（t，﹣2t+2），

易知Q（2t﹣2，t），G（0，1）當∠OQB＝90°時，

∵GB＝OG，

∴QG＝OB＝1，

∴（2t﹣2）2+（t﹣1）2＝1，

解得t＝1﹣或1+（舍棄），

∴滿足條件的t的值為1﹣．