Question

如圖,點A、E,是半圓周上的三等分點,直徑=2,,垂足為,連接交于,過作∥交于．

（1）判斷直線與⊙的位置關系,并說明理由．
（2）求線段的長．

Answer 1

（1）直線AG與⊙O的位置關系是AG與⊙O相切,理由見解析;（2）AF的長是．

試題分析:（1）求出弧AB=弧AE=弧EC,推出OA⊥BE,根據AG∥BE,推出OA⊥AG,根據切線的判定即可得出答案;
（2）求出等邊三角形AOB,求出BD、AD長,求出∠EBC=30°,在△FBD中,通過解直角三角形求出DF即可．
試題解析:（1）直線AG與⊙O的位置關系是AG與⊙O相切,
理由是:連接OA,

∵點A,E是半圓周上的三等分點,
∴弧AB=弧AE=弧EC,
∴點A是弧BE的中點,
∴OA⊥BE,
又∵AG∥BE,
∴OA⊥AG,
∴AG與⊙O相切;
（2）∵點A,E是半圓周上的三等分點,
∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°,
又∵OA=OB,
∴△ABO為正三角形,
又∵AD⊥OB,OB=1,
∴BD=OD=,AD=,
又∵∠EBC=∠EOC=30°（圓周角定理:一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半）,
在Rt△FBD中,FD=BD•tan∠EBC=BD•tan30°=×=,
∴AF=AD﹣DF=﹣=．
答:AF的長是．
考點:1.切線的判定,2.等邊三角形的判定與性質,3.垂徑定理．