Question

【題目】如圖1，為等腰直角三角形，，F是AC邊上的一個動點（點F與A、C不重合），以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF，連接BF、AD．

（1）猜想圖1中線段BF、AD的數量關系及所在直線的位置關系，直接寫出結論，_____________．

（2）將圖1中的正方形CDEF，繞著點C按順時針方向旋轉任意角度，得到如圖2的情形，BF交AC于點H，交AD于點O，請你判斷（1）中得到的結論是否仍然成立，證明你的判斷．

（3）將圖1中的正方形CDEF，繞著點按逆時針方向旋轉，得到如圖3的情形，點恰好落在斜邊上，若，求正方形CDEF的邊長．

Answer 1

【答案】（1）BF＝AD，BF⊥AD；（2）結論仍然成立．理由見解析（3）2．

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得CA＝CB，再根據正方形的性質得CF＝CD，∠ACD＝90°，根據旋轉的定義得到把△CBF繞點C順時針旋轉90°可得到△CAD，然后根據旋轉的性質得BF＝AD，BF⊥AD．

（2）由（1）得CB＝CA，CF＝CD，∠BCA＝∠FCD＝90°，易得∠BCF＝∠ACD，所以把△CBF繞點C順時針旋轉90°可得到△CAD，根據旋轉的性質得BF＝AD，BF⊥AD；

（3）如圖4，作EH⊥AC于H，連結CE，由于將圖1中的正方形CDEF，繞著點C按逆時針方向旋轉105°，根據旋轉的性質得∠ACD＝105°90°＝15°；再根據正方形的性質得∠ECD＝45°，則∠ACE＝60°，而△ABC為等腰直角三角形，則∠A＝45°；在Rt△CEH中，設CH＝x，根據含30度的直角三角形三邊的關系得CE＝2x，EH＝x，在Rt△AEH中，根據等腰直角三角形的性質得AH＝EH＝x，則AH＋CH＝x＋x，所以x＋x＝2＋2，解得x＝2，則CE＝2x＝4，然后根據等腰直角三角形的性質計算出CD＝CE＝2．

（1）∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，

∴CA＝CB，

∵四邊形CDEF為正方形，

∴CF＝CD，∠ACD＝90°，

∴把△CBF繞點C順時針旋轉90°可得到△CAD，

∴BF＝AD，BF⊥AD．

故答案為BF＝AD，BF⊥AD；

（2）（1）中得到的結論仍然成立．理由如下：

由（1）得CB＝CA，CF＝CD，∠BCA＝∠FCD＝90°，

∴∠BCA＋∠ACF＝∠ACF＋∠FCD，即∠BCF＝∠ACD，

∴把△CBF繞點C順時針旋轉90°可得到△CAD，

∴BF＝AD，BF⊥AD；

（3）如圖4，作EH⊥AC于H，連結CE，

∵將圖1中的正方形CDEF，繞著點C按逆時針方向旋轉105°，

∴∠ACD＝105°90°＝15°，

∵四邊形CDEF為正方形，

∴∠ECD＝45°，

∴∠ACE＝45°＋15°＝60°，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴∠A＝45°，

在Rt△CEH中，設CH＝x，則CE＝2x，

∴EH=＝x，

在Rt△AEH中，AH＝EH＝x，

∴AH＋CH＝x＋x，

而AC＝2＋2，

∴x＋x＝2＋2，解得x＝2，

∴CE＝2x＝4，

∵△CED為等腰直角三角形，

∴CD＝CE＝2，

即正方形CDEF的邊長為2．