Question

【題目】問題背景：在△ABC中，AB，BC，AC三邊的長分別為，，，求此三角形的面積．小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格(每個小正方形的邊長為1)，再在網格中畫出格點△ABC(即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處)，如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網格就能計算出它的面積．

(1)請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：________.

思維拓展：

(2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構圖法．如果△ABC三邊的長分別為a，a，a(a＞0)，請利用圖②的正方形網格(每個小正方形的邊長為a)畫出相應的△ABC，并求出它的面積．

探索創新：

(3)若△ABC三邊的長分別為，，(m＞0，n＞0，且m≠n)，試運用構圖法畫出示意圖并求出這三角形的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3a2；（3）7mn

【解析】

（1）的面積；

（2）是直角邊長為，的直角三角形的斜邊；是直角邊長為，的直角三角形的斜邊；是直角邊長為，的直角三角形的斜邊，把它整理為一個矩形的面積減去三個直角三角形的面積；

（3）結合（1），（2）易得此三角形的三邊分別是直角邊長為，的直角三角形的斜邊；直角邊長為，的直角三角形的斜邊；直角邊長為，的直角三角形的斜邊.同樣把它整理為一個矩形的面積減去三個直角三角形的面積.

解：(1)；

故答案為：；

(2)如圖1，在邊長為a的正方形網格中，△ABC即為所求作三角形，S△ABC＝2a×4a－×2a×2a－×2a×a－×4a×a＝3a2　

(3)如圖2，在每個小長方形的長為m、寬為n的網格中，△ABC即為所求作三角形，其中AB＝、AC＝、BC＝，S△ABC＝4m×4n－×m×4n－×3m×2n－×4m×2n＝7mn.