Question

【題目】已知：∠1＝∠2，EG平分∠AEC．

（1）如圖①，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°．求證：AB∥CD；

（2）如圖②，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，當∠NCE＝　 　°時，AB∥CD；

（3）如圖②，請你直接寫出∠MAE、∠FEG、∠NCE之間滿足什么關系時，AB∥CD；

（4）如圖③，請你直接寫出∠MAE、∠FEG、∠NCE之間滿足什么關系時，AB∥CD．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當∠NCE＝80°時，AB∥CD；（3）當2∠FEG+∠NCE＝∠MAE時AB∥CD；（4）當∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°時，AB∥CD.

【解析】

（1）由題意可得AB∥EF，根據平行線的性質，角平分線的性質可得角的數量關系，可求∠FEC=75°，即可求結論．

（2）由題意可得AB∥EF，根據平行線的性質，角平分線的性質可得角的數量關系，可求∠FEC=100°，再根據AB∥CD，可求∠NCE的度數

（3）由題意可得AB∥EF，根據平行線的性質，角平分線的性質可得角的數量關系，可求∠FEC=180°-∠MAE+2∠FEG，再根據AB∥CD，可求其關系．

（4）由題意可得AB∥EF，根據平行線的性質，角平分線的性質可得角的數量關系，可求∠FEC=∠MAE+2∠FEG-180°，再根據AB∥CD，可求其關系．

證明（1）∵∠1＝∠2

∴AB∥EF

∴∠MAE＝∠AEF＝45°，且∠FEG＝15°

∴∠AEG＝60°

∵EG平分∠AEC

∴∠AEG＝∠CEG＝60°

∴∠CEF＝75°

∵∠ECN＝75°

∴∠FEC＝∠ECN

∴EF∥CD且AB∥EF

∴AB∥CD

（2）∵∠1＝∠2

∴AB∥EF

∴∠MAE+∠FEA＝180°且∠MAE＝140°

∴∠AEF＝40°

∵∠FEG＝30°

∴∠AEG＝70°

∵EG平分∠AEC

∴∠GEC＝∠AEG＝70°

∴∠FEC＝100°

∵AB∥CD，AB∥EF

∴EF∥CD

∴∠NCE+∠FEC＝180°

∴∠NCE＝80°

∴當∠NCE＝80°時，AB∥CD

（3）∵∠1＝∠2

∴AB∥EF

∴∠MAE+∠FEA＝180°

∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，

∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG

∵EG平分∠AEC

∴∠GEC＝∠AEG

∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG

∵AB∥CD，AB∥EF

∴EF∥CD

∴∠FEC+∠NCE＝180°

∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°

∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE

∴當2∠FEG+∠NCE＝∠MAE時AB∥CD

（4）∠1＝∠2

∴AB∥EF

∴∠MAE+∠FEA＝180°

∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，

∴∠AEG＝∠FEG﹣∠FEA＝∠FEG﹣180°+∠MAE

∵EG平分∠AEC

∴∠GEC＝∠AEG

∴∠FEC＝∠FEA+2∠AEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG﹣360°+2∠MAE＝∠MAE+2∠FEG﹣180°

∵AB∥CD，AB∥EF

∴EF∥CD

∴∠FEC+∠NCE＝180°

∴∠MAE+2∠FEG﹣180°+∠NCE＝180°

∴∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°

∴當∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°時，AB∥CD