Question

【題目】已知，△ABC是邊長3cm的等邊三角形．動點P以1cm/s的速度從點A出發，沿線段AB向點B運動．

（1）如圖1，設點P的運動時間為t（s），那么t＝　 　（s）時，△PBC是直角三角形；

（2）如圖2，若另一動點Q從點B出發，沿線段BC向點C運動，如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發．設運動時間為t（s），那么t為何值時，△PBQ是直角三角形？

（3）如圖3，若另一動點Q從點C出發，沿射線BC方向運動．連接PQ交AC于D．如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發．設運動時間為t（s），那么t為何值時，△DCQ是等腰三角形？

（4）如圖4，若另一動點Q從點C出發，沿射線BC方向運動．連接PQ交AC于D，連接PC．如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發．請你猜想：在點P、Q的運動過程中，△PCD和△QCD的面積有什么關系？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t＝1或2（s）；（3）t＝1（s）；（4）面積相等，理由見解析

【解析】

（1）當△PBC是直角三角形時，∠B＝60°，所以BP＝1.5cm，即可算出t的值；

（2）因為∠B＝60°，可選取∠BPQ＝90°或∠BQP＝90°，然后根據勾股定理計算出BP長，即可算出t的大小；

（3）因為∠DCQ＝120°，當△DCQ是等腰三角形時，CD＝CQ，然后可證明△APD是直角三角形，即可根據題意求出t的值；

（4）面積相等．可通過同底等高驗證．

解：（1）當△PBC是直角三角形時，∠B＝60°，

∠BPC＝90°，所以BP＝1.5cm，

所以t＝.

（2）當∠BPQ＝90°時，BP＝0.5BQ，

3﹣t＝0.5t，所以t＝2；

當∠BQP＝90°時，BP＝2BQ，

3﹣t＝2t，所以t＝1；

所以t＝1或2（s）;

（3）因為∠DCQ＝120°，當△DCQ是等腰三角形時，CD＝CQ，

所以∠PDA＝∠CDQ＝∠CQD＝30°，

又因為∠A＝60°，

所以AD＝2AP，2t+t＝3，

解得t＝1（s）；

（4）相等，如圖所示：

作PE⊥AD于E，QG⊥AD延長線于G，則PE∥QG，則易知∠G＝∠AEP，∠A＝∠ACB＝∠QCG＝60°，

在△EAP和△GCQ中，

因為，

所以△EAP≌△GCQ（AAS），

所以PE＝QG，所以，△PCD和△QCD同底等高，所以面積相等．