Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，DC=5，以CD為半徑的⊙C與以AB為半徑的⊙B相交于點E、F，且點E在BD上，聯結EF交BC于點G．

（1）設BC與⊙C相交于點M，當BM=AD時，求⊙B的半徑；

（2）設BC=x，EF=y，求y關于x的函數關系式，并寫出它的定義域；

（3）當BC=10時，點P為平面內一點，若⊙P與⊙C相交于點D、E，且以A、E、P、D為頂點的四邊形是梯形，請直接寫出⊙P的面積．（結果保留π）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①，②（29﹣8）π．

③⊙P的面積為．

【解析】分析：（1）首先求出DM的長，再證明四邊形ABMD是平行四邊形即可解決問題；

（2）如圖2中，過點C作CH⊥BD，垂足為點H．首先用x表示BE的長，再根據EG＝BEsin∠DBC＝，求解即可；

（3）分三種情形分別求解即可解決問題；

詳解：（1）如圖1中，連接DM．

在Rt△DCM中，，

∵AD∥BC BM=AD，

∴四邊形ABMD為平行四邊形，

∴AB=DM=，

即⊙B的半徑為．

（2）如圖2中，過點C作CH⊥BD，垂足為點H．

在Rt△BCD中，，

∴，

可得∠DCH=∠DBC，

∴，

在Rt△DCH中，DH=DCsin∠DCH=，

∵CH⊥BD，

∴DE=2DH=，

∴

∵⊙C與⊙B相交于點E、F，

∴EF=2EG，BC⊥EF，

在Rt△EBG中，

，

∴(x>)．

（3）①如圖3中，當PE∥AD時，設PC交DE于H，則CH垂直平分線段DE．

在Rt△BCD中，BD=，CH=，

DH=，

∴EH=DH=，

∵AD∥BC，PE∥AD，

∴PE∥BC，

∴∠HEP=∠HBC，

∴cos∠HEP=cos∠CBD，

∴，

∴，

∴PE=，

∴⊙P的面積為π．

②如圖4中，當AP∥DE時，作AT⊥BC于T，設AD交PC于Q，BD交PC于H．

由①可知：DE=2，BE=BA=3，AT=CD=5，

在Rt△ABT中，BT=，

∴AD=CT=10﹣2，

由△DQH∽△BDC，可得DQ=，QH=，

∴AQ=AD﹣DQ=﹣2，

由△APQ∽△DHQ，可得PQ=﹣2，

在Rt△PDH中，PD2=DH2+PH2=29﹣8，

∴⊙P的面積為（29﹣8）π．

③如圖5中，當DP∥AE時，作AR⊥BD于R．

由△ADR∽△DBC，

∴，

∴AR=2﹣2，DR=4﹣4，

∴ER=DR﹣DE=2﹣4，

在Rt△ARE中，AE=，

∵AE∥DP，

∴∠AER=∠PDQ，

∴cos∠AER=cos∠PDH，

∴，

∴PD=，

∴⊙P的面積為．